PID的數學(xué)模型

在工業(yè)應用中PID及其衍生算法是應用最廣泛的算法之一，是當之無(wú)愧的wanneng算法，如果能夠熟練掌握PID算法的設計與實(shí)現過(guò)程，對于一般的研發(fā)人員來(lái)講，應該是足夠應對一般研發(fā)問(wèn)題了，而難能可貴的是，在很多控制算法當中，PID控制算法又是最簡(jiǎn)單，最能體現反饋思想的控制算法，可謂經(jīng)典中的經(jīng)典。
經(jīng)典的未必是復雜的，經(jīng)典的東西常常是簡(jiǎn)單的，是最簡(jiǎn)單的。

PID算法的一般形式

PID算法通過(guò)誤差信號控制被控量，而控制器本身就是比例、積分、微分三個(gè)環(huán)節的加和。
這里我們規定（在t時(shí)刻）：

1.輸入量為

2.輸出量為

3.偏差量為 

PID算法的數字離散化

假設采樣間隔為T(mén)，則在第K個(gè)T時(shí)刻：

偏差= 

積分環(huán)節用加和的形式表示，即 

微分環(huán)節用斜率的形式表示，即

PID算法離散化后的式子： 

則可表示成為： 
其中式中：

比例參數：控制器的輸出與輸入偏差值成比例關(guān)系。
系統一旦出現偏差，比例調節立即產(chǎn)生調節作用以減少偏差。

特點(diǎn)：過(guò)程簡(jiǎn)單快速、比例作用大，可以加快調節，減小誤差；使系統穩定性下降，造成不穩定，有余差。

積分參數：積分環(huán)節主要是用來(lái)消除靜差，所謂靜差，就是系統穩定后輸出值和設定值之間的差值，積分環(huán)節實(shí)際上就是偏差累計的過(guò)程，把累計的誤差加到原有系統上以抵消系統造成的靜差。

微分參數：微分信號則反應了偏差信號的變化規律，或者說(shuō)是變化趨勢，根據偏差信號的變化趨勢來(lái)進(jìn)行超前調節，從而增加了系統的快速性。

PID的基本離散表示形式如上。
目前的這種表述形式屬于位置型PID，一種表述方式為增量式PID，由上述表達式可以輕易得到：

那么：

上式就是離散化PID的增量式表示方式，由公式可以看出，增量式的表達結果和最近三次的偏差有關(guān)，這樣就大大提高了系統的穩定性。
需要注意的是最終的輸出結果應該為：輸出量 = + 增量調節值。